序  言

Humanity always arithmetizes.

人类总是算术化。

——戴德金，《何为数，何当为数？》

几乎每一个人自幼开始就学着数数、认数。可以说从小开始，自然数就是大家日常打交道的对象之一。到上小学的时候，我们不仅更为熟练地数数、认数，更是花不少时间学习如何计算各种各样的数值等式和大小比较的不等式，学习算术加法和乘法的交换律、结合律、分配律，等等。可是，何为数？何当为数？这里的问题不仅涉及有关数的本体论和认识论的问题，涉及关于数的语义解释以及真假判定问题，还涉及数学的基础问题。这不仅是戴德金问过的问题，事实上也是一个自古希腊开始无数思想者都问过的问题。他们不仅发问，而且也都各抒己见，从不同的角度对这样的问题给出自己的解答。很明显，这样的问题也和其他哲学问题一样是开放型问题，是那种很难有完全令人信服的终极答案的问题。纵观迄今为止的所有具有代表性的解答，许多涉及根本的解答的确各有不尽如人意之处。尤其是，自然数这一概念究竟来自何处？到底是先验的，还是后验的？算术律的真性到底是由什么确定的？依据是什么？这些问题似乎依旧还有值得进一步深究的地方。

在这里，本书试图以自然界中自然产生的“序”现象为本，从我国古代先人们智慧地应用“序”的事例出发，将“自然数”解释为“自然离散线性序序结构”在“序同构”分类下的“序型”，将“自然数”之间的“大小比较”还原成“自然离散线性序”之间的“嵌入”比较关系，将“自然数加法”还原成具体的“自然离散线性序序结构”之间的“线性序聚合”，将“自然数乘法”还原成具体的“自然离散线性序序结构”之间的“双线性序整合”。而这种序的“聚合”与“整合”早已被我国古代先贤们驾轻就熟地使用。当本书将这些事实系统性地、严格地展现出来的时候，前面提到的一些问题的一种典型答案似乎应当明显地跃然纸上。

在这个基础上，本书沿着数概念延展的历史轨迹，试图说明在数学中像数这样的基本概念是如何因为解决现实世界实际问题的需要，而沿着一条（无论是从逻辑的角度看还是从现实发展的角度看）典型的路径被不断延拓，以及这种数概念的典型延拓又怎样内在地激励着数学自身向前发展。在这里的解释中隐含着的是一些数学中典型的思维方法。对此，我们不想过多言说，因为真正的美更多的是尽在不言。

虽然本书讨论的是数学哲学的问题，但我可能不习惯对关于这些问题的其他说法发表自己的看法。理由是在数学中，在自然科学中，思想者普遍奉行的是“立字当头，破在其中”；有道理，把道理讲清楚了，其他的就留给愿意对比或评判的读者。我大约也希望就算涉及的是哲学问题，我也只是努力把我能够说清楚的讲明白就好，对于任何其他说法，我都尊重，不必多言。唯一例外的是关于现代结构论者的一段宣言我会谨慎地提出自己的不同见解（详见第1章结尾段落）。

本书将在绪论中扼要地呈现弗雷格（1884年）、赫尔姆霍兹（1887年）、克罗内克（1887年）、戴德金（1888年）以及皮亚诺（1889年）关于自然数的论述，以展开本书的话题；在这一章的后半部分，本书将试图明确必要的假设，并希望以此来明确本书的立足点和基本想法以及本书试图说明的主要观点。

第2章引进一系列来自生活中的实例，并借助它们引进本书所需要的基本数学概念：等价关系、关联准线性序、商线性序以及自然离散线性序；进而试图对自然离散线性序给出一种来自生活的“规范性”的表示。

第3章引进序同构与序嵌入，从而定义自然离散线性序的序型并揭示它们的刚性；结合我国先人们的智慧，本书会讨论如何将算术运算还原到序型的聚合与整合问题中，从而讨论序型算术律及其真性问题，等等。

第4章讨论正分数的典型性来历，试图将正分数数值等式以及正分数算术律的真性与实际应用中的解释有效性关联起来。

第5章沿着从几何量到正无理数以及实数轴发展的历史轨迹，重现数概念演变延拓的典型路径。

第6章解释为了满足什么样的需要，实数概念又怎样被延展到向量概念以及矩阵概念；同时，本章还将展示如何将物理上的实际操作用数学上的运算（函数）恰当地表示出来。本章试图说明的是：之所以数学会在自然科学中有如此功能性的广泛应用，就在于数学中的典型对象（函数）原本就来自对实际操作的恰到好处的抽象。

第7章解释康托的集合论与超限序数，以及在集合论中如何规范地解释自然数以及实数这些概念。本书也希望明确康托的超限序数与有限序数之间的自然关联，从而提示数学中新概念产生的一条典型思路。这一章中，本书也大致地展示了现代数学的一种基础理论------集合论------的主要内容。我们需要这样做，因为这是对“数”概念规范的终极解释。除了集合论公理化内容之外，本章的重点是康托在1883年引进超限序数的论文的主要内容以及他对于实数的定义。

最后，第8章引进了实数算术理论以及自然数算术理论的非标准模型。这样做的目的是试图解释“数”这样的概念实际上具有很大的“可伸缩性”，并非如早先的那些先验论者所想象的那样“一层不变”。这些严格定义出来的“非标准模型”会展示牛顿--莱布尼茨早年想象的“无穷大量”与“无穷小量”可以是数学意义上的真实存在对象，它们也是“数”。

实话实说，我原本不会对有关“数”的哲学问题感兴趣，因为在我看来，集合论对自然数的解释已经至臻完善，可谓终究极致。然而，生活中的机缘常常会将人带到意想不到的境地。我首先应当感谢复旦大学的郝兆宽教授，一位难得的相识多年的年轻朋友。差不多十年前，是他送给我一本由他和杨睿之合作翻译的美国学者斯图尔特·夏皮罗所著《数学哲学：对数学的思考》（Thinking about Mathematics---The Philosophy of Mathematics）。从这本书中我第一次接触到数学哲学思考者所关注的有关数的那些问题，带着这些问题去读《数学哲学》，自然会有一些不怎么明白的地方，也就难免胡思乱想。如果就此打住，也便没有什么。诚如前此我在《逻辑与发现》的序言中说过的，机缘有时也会展现出难得的连贯性。去年，非常意外也十分荣幸地接受清华大学哲学系刘奋荣教授的邀请，到清华大学---阿姆斯特丹大学逻辑学联合研究中心访问。恰逢清华大学人文学院刚启动的日新书院需要为书院中选拔出来的哲学学堂班开设“哲学经典与专题研讨班”，其中有一门四十八学时的“逻辑学交叉科学专题”。刘奋荣教授建议我来主讲，并把我引荐给了负责学堂班工作的夏莹教授。这便成了义不容辞的工作任务。为了给这些优秀的学生们准备一份拿得出手的讲义课件，我便将有关“数”的那些杂乱的想法整理出来，以期与学堂班的同学们一道从认识论的角度来审视数概念的形成与演变。自然，我完全假设了这样做是合适的。于是，呈现给读者的这本小册子的梗概便出自那些讲义。我也有意在这本小册子中保留了那些讲义课件的一些痕迹，因为在我看来曾经给这些优秀的学生讲过这样的内容是一份非常值得的记忆。因此，请允许我借此机会表达对刘奋荣教授、夏莹教授以及复旦大学的郝兆宽教授、杨睿之教授的衷心感谢，也非常感谢清华大学人文学院以及哲学系对我的访问所提供的便利和支持。

冯琦

2022年9月