第1章 体系的几何组成分析
学习目的
熟练掌握体系可变性分析的基本方法，能快速判断静定结构的组成顺序（不是唯一的），为第2章奠定基础。如果是超静定结构的话，能迅速确定多余约束的个数，通过减除适当的约束（不能增加原来没有的约束）使超静定结构变成静定结构，为第4章奠定基础。
基本要求
深刻理解所涉及的基本概念；熟练掌握无多余约束几何不变体系组成的三角形规则： 三刚片不共线三铰（实或虚）相连、两刚片不全相交也不全平行三杆相连，或不共线一杆一铰相连、加减二元体不改变可变性；熟练掌握不满足三角形规则时的体系可变性；掌握静定杆系结构的组成顺序，会通过减除约束使超静定结构改造成静定结构。
体系可变性分析的步骤
 (1)  寻找二元体和刚片。对二元体先去除它，使待分析体系简化，明显的几何不变部分以刚片代替，再使待分析体系简化；
(2)  看简化后体系是两刚片还是三刚片，选用相应的规则分析；
(3)  如果分析后体系某一部分是不变部分（无多余或有多余约束），将这一部分代换成刚片再接着分析，直至分析结束。
易出错的地方
(1) 不能正确地理解二元体的定义；
(2) 不能随分析进程逐步改变刚片的范围；  
(3) 不能深刻理解刚片没有一定的形状，只要保持不变性，可以任意以便于分析的另一形式代替；
(4) 不满足规则条件的可变性结论不熟悉；
(5) 由超静定变静定时增加了原体系没有的约束；
(6) 组成顺序没有保证每一步都是有规则可依的几何不变体。
思考题解答
1.  无多余约束几何不变体系（静定结构）三个组成规则之间有何关系？
答： 最基本的三角形规则，其间关系可用图1-1说明。
图1-1 思考题1图
图(a)为三刚片三铰不共线情况。图(b)为III刚片改成链杆，两刚片一铰一杆不共线情况。图(c)为I、II刚片间的铰改成两链杆（虚铰），两刚片三杆不全部平行、不交于一点的情况。图(d)为三个实铰均改成两链杆（虚铰），变成三刚片每两刚片间用一虚铰相连、三虚铰不共线的情况。图(e)为将I、III看成二元体，减二元体所成的情况。2.  实铰与虚铰有何差别？
答:  从瞬间转动效应来说，实铰和虚铰是一样的。但是实铰的转动中心是不变的，而虚铰转动中心为瞬间的链杆交点，产生转动后瞬时转动中心是要变化的。3. 试举例说明瞬变体系不能作为结构的原因。接近瞬变的体系是否可作为结构？
图1-2 思考题3图
答:  如图1-2(a)所示，AC、CB与大地三刚片由A、B、C三铰彼此相连，因为三铰共线，体系瞬变。设该体系受图示荷载FP作用，体系C点发生微小位移δ, AC、CB分别转过微小角度α和β。微小位移后三铰不再共线变成几何不变体系，在变形后的位置体系能平衡外荷载FP，取隔离体如图1-2(b)所示，列投影平衡方程可得∑Fx=0, T2cosβ-T1cosα=0
∑Fy=0, T2sinβ+T1sinα=FP由于α、β非常小，因此cosβ≈cosα≈1, sinβ≈β, sinα≈α，将此代入上式可得T2≈T1=T, T(β+α)=FP,  T=FPβ+α∞由此可见，瞬变体系受正常荷载作用后将产生巨大的内力，因而瞬变体系不能作为结构。由上分析可见，虽三铰不共线，但当体系接近瞬变时，一样将产生巨大内力，因此也不能作为结构使用。4. 平面体系几何组成特征与其静力特征间关系如何?
答:  无多余约束几何不变体系静定结构（仅用平衡条件就能分析受力）; 
有多余约束几何不变体系超静定结构（仅用平衡条件不能全部解决受力分析）; 
瞬变体系受正常的外力作用，可导致某些杆无穷大的内力；
常变体系除特定外力作用外，不能平衡。5. 作平面体系组成分析的基本思路、步骤如何？
答:  分析的基本思路是先设法化简，找刚片看能用什么规则分析。
一般步骤： 
 (1) 仅三支杆（不全平行，不交一点）可化为内部可变性分析；有二元体，从体系中减去；从基本刚片加二元体找大刚片化简体系。
 (2)  对化简后的体系看适合用什么规则分析并具体分析。
 (3) 结论。6. 构成二元体的链杆可以是复链杆吗？
答:  可以。但必须与其相连的链杆除一根外都是可减去的二元体，当减去这些二元体后，此复链杆和保留的链杆满足二元体的定义。否则就不可以。7. 超静定结构中的多余约束是从何角度被看成是“多余”的？
答:  是从能否减少自由度的运动分析角度被看成是“多余”的（也可称为从几何意义上是多余的）. 
附加例题
例1-1 试分析图1-3的几何可变性。
图1-3 例1-1图
解:  (1) 上部结构与地基之间只有三根既不相互平行、又不交一点的链杆，故可只分析内部可变性。
(2) 寻找明显的刚片。△124、△365为刚片，显然从此出发不能简单地用二刚片或三刚片规则分析。
(3) 分析思路及结论。
杆件较多，用三刚片规则分析。设法找三个刚片，它们之间必须满足： 三刚片间各有二链杆相连，按此原则三刚片可以是： △124、△365、杆78. 
此时，△124和△365间由15和34相联系；△124和78杆间由47和28相联系；△365和78杆间由67和38相联系。
对应的虚铰分别为：  A (15与34交点）, ∞ (47与28交点）, 8 (67与38交点）. 
由于三虚铰不共线，结论： 体系无多余联系，几何不变。例1-2 试分析图1-4体系的几何可变性。
图1-4 例1-2图解:  (1)  有明显的二元体： 34和24，从体系中减去。
(2) 大地看作刚片（包含固定铰支座），折杆356看成另一刚片，二刚片用6结点的两个链杆和链杆13相连，这三根链杆既不相互平行、又不相交于一点，结论： 无多余联系几何不变。例1-3 试分析图1-5体系的几何可变性。
图1-5 例1-3图
解:  (1)  减二元体： 89和9处链杆。
(2)   刚片5678改成一链杆，如图中5、7两点间的虚线所示。
(3) 减二元体： 改成的杆和7支杆。
(4) 2345刚片改成一链杆，如图中5、3两点间的虚线所示。
(5) 减二元体： 改成的杆和3支杆。
(6) 剩12杆可绕1点转动，体系缺少约束，几何常变体系，少1个约束。例1-4 试指出图1-6(a)所示体系中哪些可以视作多余联系，要求不少于三种方案。
图1-6 例1-4图
解：
方案一 
(1) 将3、6复刚结点变成组合结点，相当解除两个约束。
(2) 拆除2-4、4-5链杆，解除两个约束。
(3) 剩余体系1-2-3-4、4-5-6-7二刚片由4处一铰和2-5不共线杆相联系，因此无多余几何不变。也即现在全部联系都是必要的，如图(b)所示。
(4) 所解除的四个约束可视作多余的。
方案二 
(1) 拆除1-2, 2-4, 4-5, 5-7杆。
(2) 剩余图示体系由二刚片一铰一杆可知为无多余几何不变，因此它们全部是必要的，如图(c)所示。
(3) 所拆除的四根杆可视作多余的。
方案三 
(1) 在1-3杆、3-4杆、4-6杆、6-7杆上任意处加一铰，分别记为8、9、10、11。连续杆在加铰前，此处有三个约束，加铰后变成两个约束，因此加4个铰等于解除4个约束（限制转动的约束）. 
(2) 1-2-4-9-3-8-1可看成是2-8-3-9刚片基础上加二元体构成，因此，是无多余约束几何不变体系。同理，5-7-11-6-10-4也为无多余几何不变体系。
(3) 上述两个大三角形由一铰一杆相连接，因此组成无多余约束几何不变体系，表示图(d)所示体系各联系已全是必要的。
(4) 所解除的4个限制转动的约束可视作多余的。
(5) 由于8、9、10、11位置任意，因此方案实际有无穷多种。例1-5 试分析图1-7(a)所示体系，如果是超静定结构则通过减约束将其化成静定结构。
图1-7 例1-5图
解:  图1-7(a)所示体系可看成两个刚片（杆件CB、ED与地基所构成的刚片和ACE刚片）用两个单铰和一个链杆组成，相当于5个约束，按组成规则分析，三个约束即可构成几何不变体系，因此体系有两个多余约束。
方案一
如图1-7(b)所示，解除E铰两个多余约束后，ACE与大地可看成两刚片一铰一杆，是静定结构，DE是悬臂柱也是静定的，故改造后体系为静定结构。
方案二
如图1-7(c)所示解除固定端B的限制转动的约束和A点的可动铰支座，ACE与大地可看成两刚片一铰一杆，是静定结构。
方案三 
如图1-7(d)解除A可动铰支座，再解除E铰的水平约束，同样可得ACE与大地是两刚片一铰一杆，因此改造后是静定结构。*例1-6 试分析图1-8(a)所示体系的几何可变性。
图1-8 例1-6图
解:  图1-8(a)体系减去二元体后如图(b)所示，因为1-2-4、2-3-5是明显的刚片，如果以它们和大地作为刚片，则大地与1-2-4在1处有一实铰，1-2-4和2-3-5在2处有一实铰相联系，而2-3-5刚片和大地只在3处有一杆相连，此外再也找不出直接联系的杆件，分析无法进行下去。
为此必须改变思路。三刚片三铰规则中三铰可以是实铰，也可以是两联系构成的虚铰，试按三刚片相互间各两个联系来考虑，为此确定刚片时要从这一基点出发。按此思路将2-3-5、4-7和大地视为刚片，则2-3-5与大地间由1-2杆和3处支座杆相联系，虚铰在3处。4-7与大地间由1-4杆和7处支座杆相联系，虚铰在无限远。4-7与2-3-5间由2-4和5-7杆相联系，虚铰也在无限远。两无限远虚铰和3处的虚铰不共线，因此体系是无多余联系的几何不变体系--静定结构。

第2章 静定结构受力分析
学习目的
熟练掌握各种静定结构的受力分析方法，熟练掌握结点法、截面法、区段叠加法，了解各种结构的受力特点，为静定结构位移计算和力法解超静定结构奠定基础。
基本要求
能快速地判断桁架的零杆，能熟练掌握结点法和截面法求内力，能很好地应用对称性，能熟练地用双截面法求三铰结构反力，能熟练地确定基本和附属部分，能用区段叠加法和平衡微分关系快速地作出M图，会根据弯矩图与所受荷载作出剪力图和轴力图，了解静定结构的基本性质和派生性质，并能应用它们简化受力分析。
各类结构受力分析的步骤
(1)  桁架结构： 首先判断零杆以便简化待分析问题，然后求反力。结点法分析桁架受力时，依次按后组成先求解列平衡方程进行计算。当只求指定杆件内力时，选择合理的截面切取隔离体，用平面任意力系平衡方程进行计算；
 (2)  拱结构： 先用双截面法求反力（竖向荷载时可与代梁对比计算），根据杆轴方程求指定截面的倾角，用截面法列平面任意力系平衡方程求内力。竖向荷载时可按公式计算；
 (3)  多跨静定梁： 从几何组成分析基本-附属关系，按先附后基原则求反力，按单跨梁分析内力；
(4)  刚架结构： 不管是哪类刚架结构，一般原则是先求反力（组成相反顺序，三铰部分用双截面法），接着求控制截面内力并按区段叠加法作内力图；
 (5)  组合结构： 分析组成，确定哪些是桁架杆、哪些是弯曲杆。根据组成，先用截面法求约束杆轴力，接着求其他桁架杆轴力，最后根据荷载与桁架杆轴力求控制截面弯矩并作弯矩图。
 (1)  不能正确地掌握平衡微分关系；
 (2)  不能熟记一些单跨梁的基本内力图；
 (3)  隔离体没有切断所有联系或暴露过多未知力；
 (4)  没有及时总结消化一些快速分析的方法（如简化力臂计算、合理的投影方程等）. 
思考题解答
1. 桁架内力计算时为何先判断零杆和某些易求杆内力？
答:  判断零杆或先判断某些易求杆内力可使计算对象化简，有利于合理的选择隔离体，以便尽可能一个方程解一个未知内力。2. 对以三刚片规则所组成的图2-1所示联合桁架应如何求解？
图2-1 思考题2图
答:  首先确定三刚片6个联系中以哪两个联系的作用力为基本求解未知量；分别用两个截面（因此也称双截面法）取包含基本求解未知量的两个简单桁架部分为隔离体；对非基本求解未知力的交点取矩，建立两个独立的含基本求解未知量的平衡方程并求解未知量；求非基本未知力的联系杆内力；按简单桁架分析每一组成部分。此过程如图2-1所示。3. 不等高三铰刚架的反力计算能否不解联立方程？
答:  将不等高三铰刚架的支座反力沿拱趾铰连线及竖向进行分解，则可像等高时一样不解联立方程，也即先整体对其中一支座铰取矩，然后再对顶铰取矩即可求得反力的斜角分量。4. 如何确定（数解法）三铰拱的合理轴线? 
答:  基本出发点是合理拱轴定义： 只有轴力，无弯矩、剪力的轴线。对仅受竖向力作用的等高三铰拱，根据弯矩计算公式M=M0-FH·y，由定义M≡ 0, 可得y=M0/FH。对于其他荷载情况，要从平衡微分关系、挠曲线微分方程入手来解决。受均匀水压力的合理拱轴为圆；受回填土压力作用的合理拱轴为悬链线。5. 三铰拱的合理轴与哪些因素有关？
答:  拱的合理拱轴与所作用的荷载、三铰位置有关。6. 带拉杆三铰拱的拉杆轴力如何确定？
答:  竖向荷载作用时可用FN=M0C/f来求，此时式中f为顶铰到拉杆的垂直距离。一般荷载情况下，在求得反力后，取部分为隔离体，由对顶铰的力矩总和为零来求。7. 多跨静定梁分析的关键是什么？
答:  多跨静定梁分析的关键是，通过其组成分析确定各部分之间的依赖关系，也即基本部分和附属部分（也称叠层）关系图。然后按照先附属部分，后基本部分，在正确处理作用、反作用关系条件下，变成求解一系列单跨静定梁。8. 何谓区段叠加法？用它作M图的步骤如何？
答:  在事先求得杆端内力的条件下，区段内的内力可由简支梁在区段上的荷载作用下的内力用叠加法来得到，这种作内力图的方法即为区段叠加法。区段叠加法作M图的步骤为： 用截面法求区段两端的控制弯矩；作仅在控制弯矩作用下的简支梁M图；在所得简支梁M图基础上，叠加简支梁在荷载下的M图即得该区段最终M图。9. 作平面刚架内力图的一般步骤如何？
答:  (1) 一般先求支座反力（悬臂刚架除外），组成复杂时拟先分析构成，按与组成相反顺序求反力、约束力。
(2)  求控制截面弯矩并用区段叠加法逐段作M图。
(3) 求区段杆端剪力FQ（可取杆段为隔离体，由此隔离体受力图对两杆端取矩来求），然后像材料力学一样作各杆的FQ图。注意剪力图可画在杆轴任意一侧，但必须标明正负号。
 (4)  求区段杆端轴力FN（可取结点为隔离体，在已知剪力条件下用投影方程来求），然后逐杆作FN图。同样要注意标明正负号。
 (5)  以结点、截面截取隔离体校核是否平衡。10. 静定组合结构分析应注意什么？
答:  应注意： 
 (1) 分清哪些杆为桁架或二力杆，哪些是梁或受弯杆。
 (2)  除求梁或受弯杆控制截面M以外，一般要避免切断受弯杆（它将暴露FN、FQ和M 三个未知内力）. 
 (3) 按组成结构的相反顺序进行受力分析。11. 由M 图作出剪力图的条件是什么？
答:  因为在已知弯矩图的情况下，求杆端剪力对杆端取矩时必须已知荷载，因此荷载作用是前提。12. 由剪力图作出轴力图的条件是什么？
答:  因为杆上的轴向荷载不影响弯矩、剪力，所以由剪力图作轴力图也必须事先已知荷载。13. 如何利用几何组成分析结论计算支座（联系）反力？
答:  如果想避免解联立方程，支座（联系）反力计算应该按结构组成（或几何组成）的相反顺序进行，先组成的后求解。14. 静定结构内力分布情况与杆件截面的几何性质和材料物理性质是否有关？
答:  静定结构内力可仅由平衡方程求得，因此与杆件截面的几何性质和材料物理性质无关。15. 如何证明静定结构的解答唯一性？
答:  可利用刚体虚位移原理来证明。其证明的思路是： 
 (1)   静定结构是无多余联系的几何不变体系，因此解除任意一个联系结构都将变成单自由度体系（可运动的机构）。在所解除的联系处，以与联系所限制位移相对应的约束力P来代替。解除的是限制线位移的约束，所加约束力为所限制位移方向的力。解除的是限制转动的约束，所加约束力为力偶。
(2) 令解除联系的单自由度体系沿约束力方向发生单位（刚体）虚位移，根据几何关系求出外力Fi作用点因单位虚位移引起的沿Fi方向的位移δi. 
 (3)  根据刚体虚位移原理，主动力（这里包含解除联系所“暴露出来的约束力P" ）所做的总虚功恒等于零。因此，所暴露约束力的虚功等于约束力（因为所发生的是单位虚位移），虚功方程为P+∑iFiδi≡0   (4)  因为单位虚位移所对应的δi是唯一的、有限的，所以由虚功方程必能求得唯一的、有限的约束力解答。由于所解除的约束可以是任意的，所以静定结构中的任意约束力（可以是反力，也可以是内力）均能唯一地求出，这就证明了静定结构的解答唯一性。
附加例题
例2-1 试确定图2-2桁架中的零杆。
图2-2 例2-1图
解:  首先由11点开始，二杆结点无荷载类零杆有： 11-8、11-14、8-5、8-10、14-10、14-16、10-7、10-13. 
其次，三杆相交之单杆，结点无荷载类零杆有： 2-3、6-7、12-13、17-18、3-4、15-18. 
最后，对称结构对称轴结点无荷载类零杆有： 7-9、9-13. 
设想去掉全部零杆后，所剩待计算的体系如图（b)所示。例2-2 图2-3体系能否承受荷载？如果能承受，试计算各杆内力。
解:  从组成分析入手，将大地、2-4杆、1-3杆视为三刚片，大地与1-3杆虚铰在1处，大地与2-4杆虚铰在4处，2-4杆与1-3杆虚铰在无穷远，三虚铰不共线，因此体系静定，能承受荷载。从三杆结点单杆零杆可知FN13=FN12=FN24=0,  FN34=FP图2-3 例2-2图

  例2-3 试用较简便的方法计算图2-4桁架指定杆的内力。
图2-4 例2-3图
解:  7-6杆为三杆相交之单杆，结点无荷载，故内力为零。基于此，6-3、6-11为对称轴结点对称荷载类零杆，因此FNa=0. 
取5结点，由∑Fy=0可得FN54＝-10kN再取4结点，由∑Fy=0得FNb×4/5+FN54＝0由此可得FNb＝12.5kN  本题也可如下求解：
对称结构对称荷载，故F1y＝F12y＝10kN（向上）, F1x＝0. 
切断5-7、a、4-6杆取左部为隔离体（右部也一样）, 由∑Fy=0得FNa=0. 
在FNa=0条件下，用截面切断3-5、b、2-4，取左部，由∑Fy=0得FNb×4/5-F1y＝0，由此得FNb＝12.5kN. 
显然，两种方案都是一个方程求解一个未知力，结果完全一样。这说明结构力学问题的解答方案不是唯一的。读者自行练习时应尽可能多想想除这样之外还能如何求解。*例2-4 试确定图2-5(a)复杂桁架指定杆的内力。
解:  复杂桁架教材中没有例子，但是介绍过联合法，本题用类似思路即可解决。由荷载对称性显见 F1x=0, F1y=F4y=FP（向上）。用截面切取图(b)所示隔离体，对12点取矩可得： FP×d-FNa×3d=0,  FNa=FP/3. 
按联合法思路，取结点6如图(c)所示，由∑Fx=0得FNb=-FN63，同理，由结点9可得：  FNb=-FN9,12. 
图2-5 例2-4图
  再用截面取隔离体如图(d)所示，列∑Fy =0方程：FP-FP+(FNb-FN63-FN9,12)·cos a=0利用结点分析结果可得 FNb=0 
取结点12为隔离体，因为FNb=0，因此由∑Fy=0可得 FNc=-FP. 例2-5 试用区段叠加法作图2-6梁的M图。
图2-6 例2-5图
解:  取1-2、4-5两外伸段，对2、4截面形心取矩，可求得2、4截面控制弯矩分别为：M21=10kN/m×2m×1m=20kN·m (上侧受拉)
M45=-20kN×2m=-40kN·m (上侧受拉)  234区段对应简支梁在控制弯矩、单一荷载作用下的M图如图(a)所示。
简支梁最终M图由区段叠加法可得，如图(b)所示。
最后加上外伸段（按悬臂梁作）M图，可得最终M图如图(c)所示。例2-6 试作图2-7静定梁的M图。
图2-7 例2-6图
解:  此静定梁由12基本部分和23附属部分组成。取附属部分分析如图(a), 由∑M2=0可得： F3y=3kN. 
弯矩图如图(a)所示。
取整体对1截面取矩，由∑M1=0可得M12+6kN·m-4kN·m-3kN×5m=0,  M12=13kN·m  有了12和23段杆端控制弯矩，杆中无荷载连直线即可得图(b)所示最终M图。例2-7 试作图2-8(a)所示刚架的M图。
图2-8 例2-7图
解:  由∑M1=0可得FP×a-F5x×2a=0,  F5x=FP/2  由∑Fx =0和∑Fy=0可得F1x=-FP/2,  F1y =FP  分别取12、23和245为隔离体，可求得控制弯矩M21=-FP/2×a,  M23=FP×a,  M24=-FP/2×a  因 F5x作用线与轴线45重合，所以45杆无弯矩。
有了控制弯矩，杆上无荷载，M为直线（微分关系），则可得图(b)所示M图。例2-8 试作图2-9(a)所示结构的M图。
图2-9 例2-8图
解:  由图示几何尺寸可得 sinα=2.5m(2.5m)2+(1.5m)2=53434取整体，列∑Fy=0，可得 FR1×sinα-20kN/m×1.5m=0; 
FR1=634kN取整体，对2点取矩列∑M2=0, 可得M32-20kN/m×1.5m×0.75m+12×20kN/m×2m×13×2m=0;
M32=556kN·m取24杆，列∑M2=0，可得M24+12×20kN/m×2m×13×2m=0; M24=-203kN·m因可动铰支杆与12杆轴重合，所以M21=0. 
  有了控制截面弯矩，用区段叠加法可得图（b）所示M图。例2-9 试作图2-10(a)所示三铰刚架的M图。
图2-10 例2-9图
解:  取整体，列∑Fx=0，可得F2x =-20kN
取562，列∑M5=0，可得F2x×4m+F2y×2m -10kN/m×2m×1m=0;  
F2y=50kN取整体，列∑M1 =0，可得M14+40kN/m+10kN/m×6m×1m+20kN×2m
-F2x×2m-F2y×4m=0
M14=20kN·m14杆无剪力，弯矩为常量，M41=-20kN·m
取26杆，列∑M6=0，得M62=-80kN·m
取34杆，列∑M4=0，得M43=-40kN·m+10kN/m×2m×1m=-20kN·m由结点4、6的力矩平衡条件可得M45=M43+M41=-40kN·m; 
M65=-M62=80kN·m
有了全部控制弯矩，由区段叠加可作图(b)所示弯矩图。*例2-10 试作图2-11(a)所示三铰刚架的弯矩图。
图2-11 例2-10图
解:  取134为隔离体（图(b)) ，列∑Fy=0，得F1y-10kN/m×4m=0; F1y=40kN  同理，取452为隔离体（图(c)) ，列∑Fy=0，得F2y-10kN/m×4m=0; F2y=40kN列∑M2=0, 得M45+F4x×2m-10kN/m×4m×2m=0 (1)  取134为隔离体，列∑M1=0，得
 M45+F4x×4m-10kN/m×4m×2m-10kN/m×4m×2m=0 (2) 
联立求解方程（1) 、 (2) ，可得M45＝0,  F4x=40kN  由图(c)，列∑Fx=0，得F2x＝-F4x=-40kN  由图(b)，列∑Fx=0，得F1x＝-40kN+F4x=0  
有了全部反力和4点处约束力，取各杆段求得控制（杆端）弯矩如下： 
M31＝10kN/m×4m×2m=80kN·m